Эратосфен и его географические открытия

Содержание:

Эратосфен (276 г. до н.э. — 194 г. до н.э.) был древнегреческим ученым и философом, который работал в области астрономии, геометрии, географии, математики, а также поэзии и истории. Он прославился тем, что первым со значительной точностью вычислил окружность Земли.

Он жил в Афинах, пока Птолемей Эвергет, царь Египта, не поручил Эратосфену управлять Александрийской библиотекой, которая стала важнейшим центром знаний в регионе.

Его звали Пентатлос — титул, который давали победителям в пяти тестах Олимпийских игр, потому что он посвятил себя развитию всех областей знаний.

Он создал метод, названный Решетом Эратосфена, с помощью которого он вычислял простые числа. Также он пытался определить наклон эклиптики.

Для вычисления окружности Земли Эратосфен использовал метод, который использовался до наших дней, он заключается в измерении меридиана. Он установил размер окружности в 252 000 стадий, что составляет примерно 39 691 километр.

Изучая Землю, Эратосфен известен как «отец географии». Он опубликовал книгу, которую назвал ГеографияИменно там он впервые ввел термин география. В тексте он описал обитаемую землю и людей, которые на ней жили.

Он не использовал мифологические описания, которые были распространены в то время, но полагался на военные тексты для выполнения своей работы.

Он также составил таблицу с хронологией египетских царей Фив, написал о завоеваниях Александра Македонского и описал тогдашнюю Грецию. За вклад в философию Эратосфена называли вторым Платоном.

Эратосфен был любителем театра и написал серию из двенадцати книг, которые назвал Старая комедия. Таким же образом он писал стихи, и его темы включали рассказы о созвездиях.

Прочие взносы

Прозвали Бета другими греками того времени в отношении второй буквы алфавита. Этим они хотели сказать, что Эратосфен был вторым лучшим во всех областях, поскольку он никогда не хотел специализироваться ни на чем.

Эратосфен произвел вычисления, в которых он обнаружил, что в году было 365 дней, а каждые четыре года — 366 дней. Он взял за основу движение эклиптики, то есть движение Солнца, наблюдаемое по видимым изменениям того же самого с Земли.

Эратосфен также интересовался историей и создал хронологию мира от осады Трои до своего времени, взяв в качестве ссылок даты, которые упоминались в литературе и политических сочинениях.

Различные оптимизации решета Эратосфена

Самый большой недостаток алгоритма — то, что он «гуляет» по памяти, постоянно выходя за пределы кэш-памяти, из-за чего константа, скрытая в , сравнительно велика.

Кроме того, для достаточно больших узким местом становится объём потребляемой памяти.

Ниже рассмотрены методы, позволяющие как уменьшить число выполняемых операций, так и значительно сократить потребление памяти.

Просеивание простыми до корня

Самый очевидный момент — что для того, чтобы найти все простые до , достаточно выполнить просеивание только простыми, не превосходящими корня из .

Таким образом, изменится внешний цикл алгоритма:

for (int i=2; i*i<=n; ++i)

На асимптотику такая оптимизация не влияет (действительно, повторив приведённое выше доказательство, мы получим оценку , что, по свойствам логарифма, асимптотически есть то же самое), хотя число операций заметно уменьшится.

Решето только по нечётным числам

Поскольку все чётные числа, кроме , — составные, то можно вообще не обрабатывать никак чётные числа, а оперировать только нечётными числами.

Во-первых, это позволит вдвое сократить объём требуемой памяти. Во-вторых, это уменьшит число делаемых алгоритмом операций примерно вдвое.

Уменьшение объёма потребляемой памяти

Заметим, что алгоритм Эратосфена фактически оперирует с битами памяти. Следовательно, можно существенно сэкономить потребление памяти, храня не байт — переменных булевского типа, а бит, т.е. байт памяти.

Однако такой подход — «битовое сжатие» — существенно усложнит оперирование этими битами. Любое чтение или запись бита будут представлять из себя несколько арифметических операций, что в итоге приведёт к замедлению алгоритма.

Таким образом, этот подход оправдан, только если настолько большое, что байт памяти выделить уже нельзя. Сэкономив память (в раз), мы заплатим за это существенным замедлением алгоритма.

В завершение стоит отметить, что в языке C++ уже реализованы контейнеры, автоматически осуществляющие битовое сжатие: vector<bool> и bitset<>. Впрочем, если скорость работы очень важна, то лучше реализовать битовое сжатие вручную, с помощью битовых операций — на сегодняшний день компиляторы всё же не в состоянии генерировать достаточно быстрый код.

Блочное решето

Из оптимизации «просеивание простыми до корня» следует, что нет необходимости хранить всё время весь массив . Для выполнения просеивания достаточно хранить только простые до корня из , т.е. , а остальную часть массива строить поблочно, храня в текущий момент времени только один блок.

Пусть — константа, определяющая размер блока, тогда всего будет блоков, -ый блок () содержит числа в отрезке . Будем обрабатывать блоки по очереди, т.е. для каждого -го блока будем перебирать все простые (от до ) и выполнять ими просеивание только внутри текущего блока. Аккуратно стоит обрабатывать первый блок — во-первых, простые из не должны удалить сами себя, а во-вторых, числа и должны особо помечаться как не простые. При обработке последнего блока также следует не забывать о том, что последнее нужное число не обязательно находится в конце блока.

Приведём реализацию блочного решета. Программа считывает число и находит количество простых от до :

const int SQRT_MAXN = 100000; // корень из максимального значения N
const int S = 10000;
bool nprimeSQRT_MAXN, blS;
int primesSQRT_MAXN, cnt;
 
int main() {
 
	int n;
	cin >> n;
	int nsqrt = (int) sqrt (n + );
	for (int i=2; i<=nsqrt; ++i)
		if (!nprimei) {
			primescnt++ = i;
			if (i * 1ll * i <= nsqrt)
				for (int j=i*i; j<=nsqrt; j+=i)
					nprimej = true;
		}
 
	int result = ;
	for (int k=, maxk=nS; k<=maxk; ++k) {
		memset (bl, , sizeof bl);
		int start = k * S;
		for (int i=; i<cnt; ++i) {
			int start_idx = (start + primesi - 1)  primesi;
			int j = max(start_idx,2) * primesi - start;
			for (; j<S; j+=primesi)
				blj = true;
		}
		if (k == )
			bl = bl1 = true;
		for (int i=; i<S && start+i<=n; ++i)
			if (!bli)
				++result;
	}
	cout << result;
 
}

Асимптотика блочного решета такая же, как и обычного решета Эратосфена (если, конечно, размер блоков не будет совсем маленьким), зато объём используемой памяти сократится до и уменьшится «блуждание» по памяти. Но, с другой стороны, для каждого блока для каждого простого из будет выполняться деление, что будет сильно сказываться при меньших размерах блока. Следовательно, при выборе константы необходимо соблюсти баланс.

Как показывают эксперименты, наилучшая скорость работы достигается, когда имеет значение приблизительно от до .

Улучшение до линейного времени работы

Алгоритм Эратосфена можно преобразовать в другой алгоритм, который уже будет работать за линейное время — см. статью «Решето Эратосфена с линейным временем работы». (Впрочем, этот алгоритм имеет и недостатки.)

Простые и составные числа – определения и примеры

Понятия простые числа и составные числа относятся к , которые больше единицы. Такие целые числа, в зависимости от количества их положительных делителей, подразделяются на простые и составные числа. Таким образом, чтобы понять определения простых и составных чисел, нужно хорошо представлять себе, что такое делители и кратные.

Определение.

Простые числа – это целые числа, большие единицы, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и 1.

Определение.

Составные числа – это целые числа, большие единицы, которое имеют, по крайней мере, три положительных делителя.

Отдельно заметим, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Единица имеет только один положительный делитель, которым является само число 1. Этим число 1 отличается от всех остальных целых положительных чисел, которые имеют не менее двух положительных делителей.

Учитывая, что целые положительные числа – это натуральные числа, и что единица имеет только один положительный делитель, можно привести другие формулировки озвученных определений простых и составных чисел.

Определение.

Простыми числами называют натуральные числа, которые имеют только два положительных делителя.

Определение.

Составными числами называют натуральные числа, имеющие более двух положительных делителей.

Отметим, что каждое целое положительное число, большее единицы, есть либо простое, либо составное число. Иными словами, не существует ни одного такого целого числа, которое не являлось бы ни простым, ни составным. Это следует из , которое гласит, что числа 1 и a всегда являются делителями любого целого числа a.

Исходя из информации предыдущего абзаца, можно дать следующее определение составных чисел.

Определение.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называются составными.

Приведем примеры простых и составных чисел.

Например, числа 2, 3, 11, 17, 131, 523 являются простыми. Несомненно, это далеко не очевидно. Но все наши попытки подобрать какой-либо положительный делитель любого из этих чисел, отличный от единицы и самих этих чисел, закончатся неудачей. Это свидетельствует о том, что записанные числа являются простыми. В последнем пункте данной статьи мы более подробно поговорим о .

В качестве примеров составных чисел приведем 6, 63, 121 и 6 697. Это утверждение тоже нуждается в пояснении. Число 6 имеет кроме положительных делителей 1 и 6 еще и делители 2 и 3, так как 6=2·3, поэтому 6 – действительно составное число. Положительными делителями 63 являются числа 1, 3, 7, 9, 21 и 63. Число 121 равно произведению 11·11, поэтому его положительными делителями являются 1, 11 и 121. А число 6 697 составное, так как его положительными делителями кроме 1 и 6 697 являются еще и числа 37 и 181.

В заключение этого пункта хочется еще обратить внимание на то, что простые числа и взаимно простые числа – это далеко ни одно и то же.

Описание алгоритма

Наша цель — посчитать для каждого числа от в отрезке его минимальный простой делитель .

Кроме того, нам потребуется хранить список всех найденных простых чисел — назовём его массивом .

Изначально все величины заполним нулями, что означает, что мы пока предполагаем все числа простыми. В ходе работы алгоритма этот массив будет постепенно заполняться.

Будем теперь перебирать текущее число от до . У нас может быть два случая:

— это означает, что число — простое, т.к. для него так и не обнаружилось других делителей.

Следовательно, надо присвоить и добавить в конец списка .

— это означает, что текущее число — составное, и его минимальным простым делителем является .

В обоих случаях дальше начинается процесс расстановки значений в массиве : мы будем брать числа, кратные , и обновлять у них значение . Однако наша цель — научиться делать это таким образом, чтобы в итоге у каждого числа значение было бы установлено не более одного раза.

Утверждается, что для этого можно поступить таким образом. Рассмотрим числа вида:

где последовательность — это все простые, не превосходящие (как раз для этого нам понадобилось хранить список всех простых чисел).

У всех чисел такого вида проставим новое значение — очевидно, оно будет равно .

Почему такой алгоритм корректен, и почему он работает за линейное время — см. ниже, пока же приведём его реализацию.

Литература

• Античная география. М., 1953.
• Бобынин В. В. Эратосфен // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Дитмар А.Б. Родосская параллель: Жизнь и деятельность Эратосфена. — М.: Мысль, 1965. — 72 с.
• Колчинский И.Г., Корсунь А.А., Родригес М.Г. Астрономы: Биографический справочник. — 2-е изд., перераб. и доп. — Киев: Наукова думка, 1986. — 512 с.

На иностранных языках

• Aujac G. Eratosthène de Cyrène, le pionier de la geographie. — Paris: Édition du CTHS, 2001. — 224p.
• Diller A. Geographical Latitudes in Eratosthenes, Hipparchus and Posidonius // Klio. — 1934. — Bd. 27. — Heft 3. — S. 258—269.
• Dutka J. Eratosthenes’ measurement of the Earth reconsidered. Archive for History of Exact Sciences, 46, 1993, p. 55-64.
• Fraser P. M. Ptolemaic Alexandria. — Oxford: Clarendon Press, 1972.
• Goldstein B. R. Eratosthenes on the measurement of the Earth // Historia Mathematica. — Vol. 11. — 1984. — P. 411—416.
• Rawlins D. Eratosthenes’ geodesy unraveled: was there a high-accuracy Hellenistic astronomy, Isis, 73, 1982, p. 259—265.
• Rawlins D. The Eratosthenes — Strabo Nile map. Is it the earliest surviving instance of spherical cartography? Did it supply the 5000 stades arc for Eratosthenes’ experiment?, Arch. Hist. Exact Sci, 26 (3), 1982, p. 211—219.
• Rawlins D. Eratothenes’s large earth and tiny universe. DIO, 14, 2008.
• Shcheglov D. A. Ptolemy’s System of Seven Climata and Eratosthenes’ Geography // Geographia Antiqua. — Vol. 13. — 2004 (2006). — P. 21-37.
• Thalamas A. La géographe d’Ératosthène. — Versailles, 1921.
• Wolfer E. P. Eratosthenes von Kyrene als Mathematiker und Philosoph. — Groningen-Djakarta, 1954.

2. Работы и сочинения Эратосфена

2.1. Работы по математике

Из сочинений Эратосфена по математике до нашего времени дошло только написанное к царю Птолемею письмо об удвоении куба. Это письмо сохранилось в комментарии Евтокия к трактату Архимеда О шаре и цилиндре. В письме содержатся некоторые исторические сведения о делийской задаче, а также описание прибора, изобретённого самим автором и известного под именем мезолябия.

Сведения о других математических сочинениях Эратосфена отличаются крайней неполнотой. Папп в двух местах своего Собрания называет сочинение Эратосфена О средних величинах, замечая при этом, что оно во всех своих предположениях стоит в связи с линейными местами.

О сочинении Эратосфена Платоник, посвящённом пропорциям, говорит Теон Смирнский. Возможно, что именно к Эратосфену восходит алгоритм «разворачивания всех рациональных отношений из отношения равенства», описанный Теоном Смирнским и Никомахом Герасским.

Отрывок из ещё одного сочинения Эратосфена приводит во Введении в арифметику Никомах Герасский. То же делает и Ямвлих в своём комментарии к этому сочинению Никомаха. Предмет этого отрывка состоит в изложении найденного Эратосфеном способа определения произвольного количества последовательных простых чисел (так называемое решето Эратосфена).

2.2. Работы по астрономии

Из сочинений Эратосфена по астрономии до нашего времени дошло только одно, Катастеризмы — перечисление созвездий и заключающихся в них звёзд, числом до 700. Определения положений этих звезд сочинение не даёт.

Для своих астрономических наблюдений Эратосфен установил под портиком здания Мусейона большие армиллярные сферы.

Эратосфен определил угловое расстояние от экватора до тропика: он нашёл его равным 11/83 от 180°.

2.3. Работы по геодезии и географии

В тесной связи с астрономией находится работа Эратосфена, состоящая в измерении длины земного меридиана. Краткое изложение этой работы известно нам по трактату Клеомеда «О круговращении небесного свода»:

Измерение Земли по Эратосфену

Карта Эратосфена

Позднее полученное Эратосфеном число было увеличено до 252000 стадиев. Определить, насколько эти оценки близки к реальности, трудно, поскольку неизвестно, каким именно стадием пользовался Эратосфен. Но если предположить что речь идёт о греческом (178 метров), то его радиус земли равнялся 7,082 км, если египетским, то 6,287 км. Современные измерения дают для усреднённого радиуса Земли величину 6,371 км. Что делает выше описанный расчёт выдающимся достижением и первым достаточно точным расчётом размеров нашей планеты.

В сравнительно больших отрывках дошло до настоящего времени сочинение Эратосфена о географии. В полном своём составе оно делилось, по свидетельству Страбона, на три книги. В первой автор дал критический обзор истории географии, от первого появления географических понятий у Гомера до своих непосредственных предшественников, то есть до историков и географов, воспользовавшихся походами Александра Македонского и их описаниями. Вторая книга излагает основы географии по взглядам самого автора. Предмет третьей книги составляет суша.

2.4. Другие работы Эратосфена

Эратосфен является основателем научной хронологии. В своих Хронографиях он пытался установить даты, связанные с историей Эллады, составил список победителей Олимпийских игр.

Сохранились отрывки из сочинения Эратосфена О древней комедии и из двух его поэм; в одной он вкладывает в уста Гермеса рассказ о строении неба, светил и гармонии сфер, в другой передаётся легенда об Эригоне, дочери Икара.

биография

Первые годы

Эратосфен родился примерно в 276 г. до н.э. в Кирене, греческом городе, расположенном в Северной Африке, на территории, которая сейчас является территорией Ливии

Он был сыном Аглауса, о котором не ведется никаких исторических записей, поэтому считается, что он не был из важной семьи в то время

Несмотря на то, что Эратосфен не имел выдающегося происхождения, он приехал из города, который получил признание людей, которые родились в нем. Кирена была основана греками Теры до 600 г. до н.э. и процветала как независимый город до прихода эллинской эры..

Кирена была поглощена Птолемейской монархией Египта, которая управляла Александрией, культурным и торговым центром Средиземноморья. Был большой книжный магазин, музей и школа повышения квалификации.

Эратосфен пошел по стопам других ученых в своем городе и обучался у Лисании, эксперта по грамматике. Несмотря на то, что в греческие времена молодые люди из богатых семей имели больший доступ к образованию, для мужчин существовали академии.

Дети с семи лет обучались таким предметам, как литература, спорт и музыка. Считается, что Эратосфен также мог быть учеником Каллимах.

Афины

Основным интересом Эратосфена к юности была философия, и это призвание привело его в Афины в возрасте 15 лет. Там он оставался примерно 25 лет. Затем он подготовил и приобрел известность как академический.

В Афинах он нашел так много философов, что он был поражен и поражен. Сначала он учился у Зенона в школе стоиков. Также с одним из его учеников, Аристоном де Хиосом, из которого он написал биографию. Но он не нашел в них стиля, который ему нравился.

Затем он присоединился к платоникам как ученик Арцесилао. Именно тогда Эратосфен создал произведение под названием Platonicus, в которой, следуя методу Платона, он исследовал математические и космологические темы. В то время он также написал Пери Агатōн кай какōN, текст, который был потерян.

После этих переживаний он разочаровался в философии и решил посвятить себя поэзии. Так началась слава Эратосфена, так как в своей новой области он добился признания, которого хотел.

Тексты не сохранились от его первых произведений в качестве поэта; однако некоторые имена передавались потомкам в цитатах других греков. Гермес это была одна из его работ, в которой он обратился к жизни бога, а другой взял по имени Эригона.

Александрия

Считается, что именно слава Эратосфена как поэта привлекла внимание Эвергетеса Птолемея III, который призвал его в Александрию, чтобы он занялся репетиторством своего сына, а также предложил ему должность директора городской библиотеки.. Птолемей III был тронут не только интересом к работе Эратосфена, но и политическими соображениями

Город Кирена прошел независимый период Египта до брака между Птоломео III и Беренис, дочерью Магаса, губернатора этого города

Птолемей III был тронут не только интересом к работе Эратосфена, но и политическими соображениями. Город Кирена прошел независимый период Египта до брака между Птоломео III и Беренис, дочерью Магаса, губернатора этого города.

В поисках защиты своего недавно восстановленного домена Птолемей III видел, как хорошо удовлетворить жителей Кирены, предлагая Эратосфену такую ​​же должность, как глава великой Александрийской библиотеки..

В период, когда Эратосфен руководил Александрийской библиотекой, в ней были достигнуты большие успехи. Приобретенные произведения, такие как великие драмы Эсхила и Еврипида. Они также расширили исследования в Софокла.

В эту эпоху Эратосфен воспользовался своим положением и доступом к информации, которую ему пришлось изучать по самым разным предметам. Однако он никогда не хотел специализироваться на одном предмете, поэтому некоторые упрекали его.

смерть

Эратосфен умер в Александрии, около 194 г. до н.э., когда ему было 82 года. Некоторое время назад он ослеп в результате катаракты и, как полагают, совершил самоубийство от голода.

Несмотря на его большой вклад в науку, его работа не была воспроизведена многими другими, по-видимому, потому что у него не было достаточно студентов, чтобы передать свои открытия и теории.

Тем не менее, его вклад в изучение земли дал ему титул отца географии. В течение своей жизни Эратосфен был любителем знаний во всех областях.

Асимптотика

Докажем, что асимптотика алгоритма равна .

Итак, для каждого простого будет выполняться внутренний цикл, который совершит действий. Следовательно, нам нужно оценить следующую величину:

Вспомним здесь два известных факта: что число простых, меньше либо равных , приблизительно равно , и что -ое простое число приблизительно равно (это следует из первого утверждения). Тогда сумму можно записать таким образом:

Здесь мы выделили первое простое из суммы, поскольку при согласно приближению получится , что приведёт к делению на нуль.

Теперь оценим такую сумму с помощью интеграла от той же функции по от до (мы можем производить такое приближение, поскольку, фактически, сумма относится к интегралу как его приближение по формуле прямоугольников):

Первообразная для подынтегральной функции есть . Выполняя подстановку и убирая члены меньшего порядка, получаем:

Теперь, возвращаясь к первоначальной сумме, получаем её приближённую оценку:

что и требовалось доказать.

Более строгое доказательство (и дающее более точную оценку с точностью до константных множителей) можно найти в книге Hardy и Wright «An Introduction to the Theory of Numbers» (стр. 349).

Биография[править | править код]

Сын Эглаоса, уроженец Кирены.

Начальное образование Эратосфен получил в Александрии под руководством своего учёного земляка Каллимаха. Другим учителем Эратосфена в Александрии был философ Лизний. Перебравшись затем в Афины, он так тесно сблизился со школой Платона, что обыкновенно называл себя платоником. Результатом изучения наук в этих двух центрах была энциклопедическая эрудиция Эратосфена; кроме сочинений по математическим наукам, он писал ещё трактаты «о добре и зле», о комедии и др. Из всех своих сочинений Эратосфен придавал особенное значение литературным и грамматическим, как это можно заключить из того, что он любил называть себя филологом.

В 245 году до н. э. царь Птолемей III Эвергет пригласил Эратосфена приехать из Афин, чтобы работать в Александрийской библиотеке, где уже трудились его учитель Каллимах и Аполлоний Родосский. Эратосфен откликнулся на приглашение, в возрасте около тридцати лет он приехал в Александрию, где и остался до самой смерти. Через пять лет после приезда он сменил Аполлония Родосского на посту главы Александрийской библиотеки. Как глава библиотеки, Эратосфен занимался обучением детей монарха — будущего правителя Птолемея IV и его сестры (а впоследствии и жены) Арсинои.

На посту главы библиотеки активно занимался её расширением и развитием, стремясь поддержать репутацию библиотеки в соперничестве с Пергамской библиотекой. По его просьбе александрийские портовые власти изымали все книги с приходящих кораблей для изучения и копирования. Эратосфен приобретал аутентичные копии трагедий великих греческих авторов — Эсхила, Софокла и Эврипида, а также учредил в библиотеке целый отдел, занимавшийся изучением творчества Гомера.

В старости у Эратосфена воспалились глаза, что в дальнейшем привело к слепоте. Невозможность читать и наблюдать за природой сильно угнетала его и в 194 год до н. э. он принял решение уморить себя голодом.

Отголоски признания обширной учёности Эратосфена звучат и в прозвищах, которые он получил от современников. Называя его «бета», они, по предположению многих исследователей, желали выразить свой взгляд на него, как на второго Платона, или вообще как на учёного, который только потому занимает второе место, что первое должно быть удержано за предками. Другим прозвищем Эратосфена было «пентатлос» (греч. Πένταθλος) — пятиборец, то есть всесторонне развитый человек, оно было ему дано за одарённость в самых разных областях знания.

В честь Эратосфена назван кратер на Луне, один из периодов геологической истории Луны, а также подводная гора в Средиземном море, близ Кипра.

Жизнь

Эратосфен, сын Аглаоса, родился в 276 г. до н.э. в Кирене . Теперь часть современной Ливии , Кирена была основана греками несколько веков назад и стала столицей Пентаполиса (Северная Африка) , страны , состоящей из пяти городов: Кирены, Арсинои , Береники , Птолемея и Аполлонии . Александр Великий завоевал Кирену в 332 г. до н.э., и после его смерти в 323 г. до н.э. ее правление перешло к одному из его полководцев, Птолемею I Сотеру , основателю Птолемеевского царства . При Птолемеях экономика процветала, в основном за счет экспорта лошадей и сильфия , растения, которое использовалось в качестве приправ и лекарств. Кирена стала местом культивирования, где расцветали знания. Как и любой молодой грек того времени, Эратосфен учился в местной гимназии , где он изучал бы физические навыки и социальный дискурс, а также чтение, письмо, арифметику, поэзию и музыку.

Эратосфен учение в Александрии по Бернардо Строцци (1635)

Эратосфен отправился в Афины для продолжения учебы. Там его основатель Зенон из Citium преподавал стоицизму философские лекции о добродетельной жизни. Затем он учился у Аристо Хиосского , который руководил более циничной философской школой. Он также учился под руководством главы Платонической академии , которым был Аркесилай Питанский . Его интерес к Платону привел к тому, что он написал свою первую научную работу « Платоникос» , исследуя математические основы философии Платона. Эратосфен был человеком многих взглядов и исследовал искусство поэзии при Каллимахе . Он писал стихи: одно в гекзаметрах под названием « Гермес» , иллюстрирующее историю жизни бога; и другой в элегии , названный Эригон , описывающий самоубийство афинской девушки Эригоны (дочери Икария) . Он написал « Хронографии» — текст, в котором с научной точки зрения указаны важные даты, начиная с Троянской войны . Эта работа была высоко оценена за точность. Позже Георгию Синчеллу удалось сохранить из хронографий список 38 царей египетских Фив . Эратосфен также написал « Олимпийские победители» , хронологию победителей Олимпийских игр . Неизвестно, когда он писал свои произведения, но они подчеркнули его способности.

Эти произведения и его великие поэтические способности привели фараона Птолемея III Эвергета к поиску места его библиотекарем в Александрийской библиотеке в 245 году до нашей эры. Эратосфен, которому тогда было тридцать, принял приглашение Птолемея и отправился в Александрию, где прожил всю оставшуюся жизнь. Примерно через пять лет он стал главным библиотекарем — должность, которую ранее занимал поэт Аполлоний Родий . В качестве главы библиотеки Эратосфен обучал детей Птолемея, в том числе Птолемея IV Филопатора, который стал четвертым фараоном Птолемея. Он расширил фонды библиотеки: в Александрии все книги нужно было сдавать для тиражирования. Было сказано, что они были скопированы настолько точно, что невозможно было сказать, вернула ли библиотека оригинал или копию. Он стремился поддержать репутацию Александрийской библиотеки, несмотря на конкуренцию со стороны Пергамской библиотеки . Эратосфен создал целый раздел, посвященный исследованию Гомера, и приобрел оригинальные произведения великих трагических драм Эсхила , Софокла и Еврипида .

Эратосфен внес несколько важных вкладов в математику и науку и был другом Архимеда . Около 255 г. до н.э. он изобрел армиллярную сферу . В О круговых движениях небесных тел , Клеомед приписывал ему рассчитав окружность Земли около 240 г. до н.э., с высокой точностью.

Эратосфен считал, что в каждой нации есть и хорошее, и плохое, и критиковал Аристотеля за то, что он утверждал, что человечество разделено на греков и варваров , а также за то, что он утверждал, что греки должны сохранять свою расовую чистоту. В возрасте около 195 г. до н.э. он заболел офтальмией и ослеп. Утрата способности читать и наблюдать за природой мучила его и подавляла, заставляя добровольно морить себя голодом. Он умер в 194 г. до н.э. в возрасте 82 лет в Александрии.

Время работы и требуемая память

Хотя асимптотика лучше асимптотики классического решета Эратосфена, разница между ними невелика. На практике это означает лишь двукратную разницу в скорости, а оптимизированные варианты решета Эратосфена и вовсе не проигрывают приведённому здесь алгоритму.

Учитывая затраты памяти, которые требует этот алгоритм — массив чисел длины и массив всех простых длины примерно — этот алгоритм кажется уступающим классическому решету по всем статьям.

Однако спасает его то, что массив , вычисляемый этим алгоритмом, позволяет искать факторизацию любого числа в отрезке за время порядка размера этой факторизации. Более того, ценой ещё одного дополнительного массива можно сделать, чтобы в этой факторизации не требовались операции деления.

Знание факторизации всех чисел — очень полезная информация для некоторых задач, и этот алгоритм является одним из немногих, которые позволяют искать её за линейное время.

Его принципы

Мы должны иметь в виду, что в то время практически не существовало техники наблюдения, поэтому астрономия едва ли была в зачаточном состоянии. Таким образом, признание Эратосфена довольно высоко. Вначале он учился в Александрии и Афинах. Он стал учеником Аристона Хиосского, Каллимаха и Лисания из Кирены. Он также был большим другом известного Архимеда.

Его прозвали Бета и Пентатлос. Эти прозвища означали отсылку к типу спортсмена, который способен работать по нескольким специальностям и который из-за этого не может быть отличным ни в одной из них и всегда занимает второе место. Это делает его прозвище довольно суровым. Несмотря на это прозвище, он смог использовать его основы для более поздних очень интересных научных открытий.

Практически всю жизнь он проработал в Александрийской библиотеке. По некоторым данным, он потерял зрение в возрасте 80 лет и позволил себе голодать. Он является создателем армиллярной сферы, инструмента астрономических наблюдений, который все еще использовался в XNUMX веке. Это может показать, насколько вы были способны в то время, когда жили. Именно благодаря армиллярной сфере он смог узнать наклон эклиптики.

Он смог вычислить интервал между тропиками, и эти цифры позже были использованы Птолемеем в некоторых своих исследованиях, таких как геоцентрическая теория. Он также наблюдал затмения и смог вычислить, что расстояние от Земли до Солнца составляет 804.000.000 185 XNUMX стадий. Если стадион был XNUMX метров, это дало 148.752.000 XNUMX XNUMX километров, что очень близко к астрономической единице..